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Solving the Cubic
This MathML example demontrates how to solve for the roots of a cubic equation.
SolveCubic.html
<!doctype html>
<html>
<head>
<title>XoaX.net's MathML: The Solution of the Cubic Equation</title>
</head>
<body>
<p>The solution of the cubic equation can be found by reducing the equation as follows:</p>
<math display="block">
<mtable>
<mtr>
<mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd>
<mtd style="text-align: left;">
<mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo>
<mi>b</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo>
<mi>c</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>d</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd></mtd>
<mtd><mo>=</mo></mtd>
<mtd style="text-align: left;">
<mi>a</mi><msup><mi>y</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>-</mo>
<mfrac><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac>
<mo>)</mo><mi>y</mi><mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo>
<mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>27</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac>
<mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd>
<mtd style="text-align: left;">
<mi>a</mi><mo>(</mo><msup><mi>y</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo>
<mo>(</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>-</mo>
<mfrac><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac>
<mo>)</mo><mi>y</mi><mo>+</mo>
<mo>(</mo><mfrac><mi>d</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>+</mo>
<mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>27</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac>
<mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>)</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd>
<mtd style="text-align: left;">
<mi>a</mi><mo>(</mo><msup><mi>y</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo>
<mo>(</mo><mn>3</mn><mi>s</mi><mi>t</mi>
<mo>)</mo><mi>y</mi><mo>+</mo>
<mo>(</mo><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>t</mi><mn>3</mn></msup><mo>)</mo><mo>)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</math>
<p>where</p>
<math display="block">
<mtable>
<mtr>
<mtd><mi>x</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd>
<mtd style="text-align: left;"><mi>y</mi><mo>-</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac></mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><mn>3</mn><mi>s</mi><mi>t</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd>
<mtd style="text-align: left;"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>-</mo>
<mfrac><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>t</mi><mn>3</mn></msup></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd>
<mtd style="text-align: left;"><mfrac><mi>d</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>+</mo>
<mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>27</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac>
<mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mtd>
</mtr>
</mtable>
</math>
<p>and <math><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><mi>s</mi></math> will give us a solution to the equation. We can take the third equation and solve for <math><mi>t</mi></math>, to get</p>
<math display="block">
<mi>t</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>3</mn><mi>s</mi></mrow></mfrac><mo>(</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>-</mo>
<mfrac><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>)</mo>
</math>
<p>Cubing both sides of the equation, we get</p>
<math display="block">
<msup><mi>t</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup></mfrac>
<msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo>
<mfrac><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>9</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup>
</math>
<p>We can substitute this into the fourth equation and multiple by <math><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup></math> to get a quadratic in <math><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup></math></p>
<math display="block">
<msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>-</mo>
<mo>(</mo><mfrac><mi>d</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>+</mo>
<mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>27</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac>
<mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>)</mo><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo>
<mfrac><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>9</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup>
<mo>=</mo><mn>0</mn>
</math>
<p>Multiplying by <math><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn>3</mn><mi>a</mi><mtext>)</mtext></mrow><mn>6</mn></msup></math>, we get a quadratic in <math><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn>3</mn><mi>a</mi><mi>s</mi><mtext>)</mtext></mrow><mn>3</mn></msup></math></p>
<math display="block">
<msup><mrow><mo>(</mo><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn>3</mn><mi>a</mi><mi>s</mi><mtext>)</mtext></mrow><mn>3</mn></msup><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>-</mo>
<mtext>(</mtext><msup><mn>3</mn><mn>6</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>5</mn></msup><mi>d</mi><mo>+</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>3</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>2</mn><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>5</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>4</mn></msup><mi>b</mi><mi>c</mi><mtext>)</mtext>
<msup><mrow><mtext>(</mtext><mn>3</mn><mi>a</mi><mi>s</mi><mtext>)</mtext></mrow><mn>3</mn></msup><mo>-</mo>
<msup><mrow><mtext>(</mtext><mn>3</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mtext>)</mtext></mrow><mn>3</mn></msup>
<mo>=</mo><mn>0</mn>
</math>
<p>This can be solved with the quadratic formula to get</p>
<math display="block">
<msup><mrow><mtext>(</mtext><mn>3</mn><mi>a</mi><mi>s</mi><mtext>)</mtext></mrow><mn>3</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mtext>(</mtext><msup><mn>3</mn><mn>6</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>5</mn></msup><mi>d</mi><mo>+</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>3</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>2</mn><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>5</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>4</mn></msup><mi>b</mi><mi>c</mi><mtext>)</mtext>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mtext>(</mtext><msup><mn>3</mn><mn>6</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>5</mn></msup><mi>d</mi><mo>+</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>3</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>2</mn><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>5</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>4</mn></msup><mi>b</mi><mi>c</mi><mtext>)</mtext></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn>3</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mtext>)</mtext></mrow><mn>3</mn></msup>
</msqrt>
</mrow><mn>2</mn></mfrac>
</math>
<p>This we can easily solve for <math><mi>s</mi></math> by taking a cubed root and dividing by <math><mn>3</mn><mi>a</mi></math></p>
<math display="block">
<mi>s</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac>
<mroot><mrow>
<mfrac><mrow><mtext>(</mtext><msup><mn>3</mn><mn>6</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>5</mn></msup><mi>d</mi><mo>+</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>3</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>2</mn><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>5</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>4</mn></msup><mi>b</mi><mi>c</mi><mtext>)</mtext>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mtext>(</mtext><msup><mn>3</mn><mn>6</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>5</mn></msup><mi>d</mi><mo>+</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>3</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>2</mn><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo>
<msup><mn>3</mn><mn>5</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>4</mn></msup><mi>b</mi><mi>c</mi><mtext>)</mtext></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn>3</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mtext>)</mtext></mrow><mn>3</mn></msup>
</msqrt>
</mrow><mn>2</mn></mfrac>
</mrow><mn>3</mn></mroot>
</math>
<p>From the value of <math><mi>s</mi></math>, we can get the value of <math><mi>t</mi></math>. We make the observation that since <math><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><mi>s</mi></math> is a root of our equation above, we can factor as follows</p>
<math display="block">
<mtable>
<mtr>
<mtd><msup><mi>y</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo>
<mo>(</mo><mn>3</mn><mi>s</mi><mi>t</mi><mo>)</mo><mi>y</mi><mo>+</mo>
<mo>(</mo><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>t</mi><mn>3</mn></msup><mo>)</mo></mtd>
<mtd>=</mtd>
<mtd><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo>-</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mo>-</mo><mi>s</mi><mtext>)</mtext><mi>y</mi><mo>+</mo>
<msup><mi>s</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>s</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></mtd>
</mtr>
</mtable>
</math>
<p>Now, the second quadratic can be factored via the quadratic formula to get</p>
<math display="block">
<mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>s</mi><mo>-</mo><mn>t</mn><mo>±</mo>
<msqrt><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>s</mi><mo>+</mo><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow><mn>2</mn></msup></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>s</mi><mo>-</mo><mn>t</mn><mo>±</mo><mi>i</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mtext>(</mtext><mi>s</mi><mo>+</mo><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow><mn>2</mn></mfrac>
</math>
</body>
</html>Output
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